On the faces of the tensor cone of symmetrizable Kac-Moody Lie algebras - Institut Camille Jordan Accéder directement au contenu
Pré-Publication, Document De Travail Année : 2024

On the faces of the tensor cone of symmetrizable Kac-Moody Lie algebras

Sur les faces du cône tensoriel d'une algèbre de Kac-Moody symétrisable

Résumé

In this paper, we are interested in the decomposition of the tensor product of two representations of a symmetrizable Kac-Moody Lie algebra ${\mathfrak g}$, or more precisely in the tensor cone of~${\mathfrak g}$. As usual, we parametrize the integrable, highest weight (irreducible) representations of~${\mathfrak g}$ by their highest weights. Then, the triples of such representations such that the last one is contained in the tensor product of the first two is a semigroup. This semigroup generates a rational convex cone $ \Gamma({\mathfrak g})$ called tensor cone. If ${\mathfrak g}$~is finite-dimensional, $\Gamma({\mathfrak g})$~is a polyhedral convex cone. In 2006, Belkale and the first author described this cone by an explicit finite list of inequalities. In 2010, this list of inequalities was proved to be irredundant by the second author: each such inequality corresponds to a codimension one face. In general, $\Gamma({\mathfrak g})$~is neither polyhedral, nor closed. Brown and the first author obtained a list of inequalities that describe $\Gamma({\mathfrak g})$ conjecturally. Here, we prove that each of these inequalities corresponds to a codimension one face of~$\Gamma({\mathfrak g})$.
Dans cet article, nous nous int\'eressons à la d\'ecomposition du produit tensoriel de deux repr\'esentations d'une algèbre de Kac-Moody sym\'etrisable ${\mathfrak g}$, et plus pr\'ecis\'ement au cône tensoriel de ${\mathfrak g}$. Comme d'habitude, nous param\'etrons les repr\'esentations irr\'eductibles int\'egrables et de plus haut poids par ledit plus haut poids. Alors, les triplets de telles repr\'esentations telles que la troisième s'injecte dans le produit tensoriel des deux premières est un semi-groupe. Ces triplets engendrent un cône convexe rationnel $\Gamma({\mathfrak g})$ que nous appelons le {\it cone tensoriel}. Lorsque ${\mathfrak g}$ est de dimension finie, $\Gamma({\mathfrak g})$ est un cône convexe poly\'edral. En 2006, Belkale et le premier auteur ont d\'ecrit ce cône par une liste finie explicite d'in\'egalit\'es lin\'eaires. En 2010, le second auteur a montr\'e que cette liste d'in\'egalit\'es n'est pas redondante~: chaque in\'egalit\'e correspond à une face de codimension un. En g\'en\'eral, $\Gamma({\mathfrak g})$ n'est ni ferm\'e, ni poly\'edral. Brown et le premier auteur ont obtenu une liste d'in\'egalit\'es qui d\'ecrit conjecturalement le cône $\Gamma({\mathfrak g})$. Nous montrons ici que chacune de ces in\'egalit\'es correspond à une face de codimension un de $\Gamma({\mathfrak g})$.
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Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)

Dates et versions

hal-02007160 , version 1 (05-02-2019)
hal-02007160 , version 2 (01-02-2024)

Identifiants

Citer

Shrawan Kumar, Nicolas Ressayre. On the faces of the tensor cone of symmetrizable Kac-Moody Lie algebras. 2024. ⟨hal-02007160v2⟩
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