Linearity and Nonlinearity of Groups of Polynomial Automorphisms of the Plane
Linéarité et non-linéarité des groupes d'automorphismes polynomiaux du plan
Résumé
Given a field K, we investigate which subgroups of the group Aut A 2 K of polynomial automorphisms of the plane are linear or not. The results are contrasted. The group Aut A 2 K itself is nonlinear, except if K is finite, but it contains some large "finite-codimensional" subgroups which are linear. This phenomenon is specific to dimension two: it is easy to prove that any "finite-codimensional" subgroup of Aut A 3 K is nonlinear, even for a finite field K. When ch K = 0, we also look at a similar questions for f.g. subgroups, and the results are also contrasted. Some "finite-codimensional" subgroups are locally linear but not linear. This paper is respectfully dedicated to the memory of Jacques Tits.
Nous examinons quels sous groupes du groupe Aut A 2 K
des automorphismes polynomiaux du plan sont linéaires ou non. Les résultats
sont contrastés. Sans surprise, le groupe Aut A 2 K lui-même n'est pas linéaire,
sauf si le corps K est fini, même sur un anneau, mais il contient des sous-groupes de codimension 5 qui sont linéaires. Ce phénomène n'a pas d’équivalent en dimension supérieure. En fait tout sous-groupe de codimension finie de Aut A 3 K est non-linéaire,
même si K est fini.
Lorsque K est de caractéristique zéro, nous examinons une question similaire pour les sous-groupe de type fini. Nous montrons que Aut A 2 Q contient un sous-groupe non-linéaire.
This paper is respectfully dedicated to the memory of Jacques Tits.
ayant 2 generateurs et une seule relation. En revanche Aut A 2K contient un sous groupe de
codimension 3 qui est localement lineaire sans etre lineaire.
Domaines
Théorie des groupes [math.GR]
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)