Introduction aux théories homologiques
Résumé
Ce cours débute par quelques rappels sur les espaces topologiques et variétés différentielles ainsi que sur le problème de classification des variétés qui motive la suite du cours. Le second paragraphe est consacré à l’aspect algébrique des théories d’homologies, l’algèbre homologique, et culmine avec les formules des coefficients universels. Le troisième paragraphe est consacré à plusieurs incarnations des homologie et cohomologie en géométrie. On présente dans ce paragraphe les théories de de Rham, simpliciale, singulière et cellulaire et démontre plusieurs versions du théorème de de Rham et de la dualité de Poincaré. Enfin, le dernier paragraphe est consacré à une introduction à la théorie des faisceaux, où l’on étudie les notions de faisceau, faisceau image, cohomologie de Čech et cohomologie des faisceaux.
Ces notes de cours ont été rédigées par Matthieu Dussaule. Il s’agit d’un cours de niveau Master 2 dispensé durant l’automne 2015 à l’École normale supérieure de Lyon dans le cadre du Master de Mathématiques Avancées de 2ème année.
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